Nicolás Robles

Descubierta por Georg Ohm en 1827, la resistencia eléctrica tiene un parecido conceptual a la fricción en la física mecánica. La unidad de la resistencia en el Sistema Internacional de Unidades es el ohmio (Ω). Para su medición en la práctica existen diversos métodos, entre los que se encuentra el uso de un ohmímetro. Además, su cantidad recíproca es la conductancia, medida en Siemens.

Para una gran cantidad de materiales y condiciones, la resistencia eléctrica depende de la corriente eléctrica que pasa a través de un objeto y de la tensión en los terminales de este. Esto significa que, dada una temperatura y un material, la resistencia es un valor que se mantendrá constante. Además, de acuerdo con la ley de Ohm la resistencia de un material puede definirse como la razón de la tensión y la corriente, así:

$R = {V \over I}$

Según sea la magnitud de esta medida, los materiales se pueden clasificar en conductores, aislantes y semiconductor. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prácticamente nulo.

Comportamientos ideales y reales

Una resistencia ideal es un elemento pasivo que disipa energía en forma de calor según la ley de Joule. También establece una relación de proporcionalidad entre la intensidad de corriente que la atraviesa y la tensión medible entre sus extremos, relación conocida como ley de Ohm:

$u (t) = R \cdot i(t) \;$

donde i(t) es la corriente eléctrica que atraviesa la resistencia de valor R y u(t) es la diferencia de potencial que se origina. En general, una resistencia real podrá tener diferente comportamiento en función del tipo de corriente que circule por ella.

Comportamiento en corriente continua

Una resistencia real en corriente continua (CC) se comporta prácticamente de la misma forma que si fuera ideal, esto es, transformando la energía eléctrica en calor por efecto Joule. La ley de Ohm para corriente continua establece que:

$R = {V \over I} \;$

donde R es la resistencia en ohmios, V es la diferencia de potencial en voltios e I es la intensidad de corriente en amperios.

Comportamiento en corriente alterna

Como se ha comentado anteriormente, una resistencia real muestra un comportamiento diferente del que se observaría en una resistencia ideal si la intensidad que la atraviesa no es continua. En el caso de que la señal aplicada sea senoidal, corriente alterna (CA), a bajas frecuencias se observa que una resistencia real se comportará de forma muy similar a como lo haría en CC, siendo despreciables las diferencias. En altas frecuencias el comportamiento es diferente, aumentando en la medida en la que aumenta la frecuencia aplicada, lo que se explica fundamentalmente por los efectos inductivos que producen los materiales que conforman la resistencia real.

Por ejemplo, en una resistencia de carbón los efectos inductivos solo provienen de los propios terminales de conexión del dispositivo mientras que en una resistencia de tipo bobinado estos efectos se incrementan por el devanado de hilo resistivo alrededor del soporte cerámico, además de aparecer una cierta componente capacitiva si la frecuencia es especialmente elevada. En estos casos, para analizar los circuitos, la resistencia real se sustituye por una asociación serie formada por una resistencia ideal y por una bobina también ideal, aunque a veces también se les puede añadir un pequeño condensador ideal en paralelo con dicha asociación serie. En los conductores, además, aparecen otros efectos entre los que cabe destacar el efecto películar.

Consideremos una resistencia R, como la de la figura 2, a la que se aplica una tensión alterna de valor:

$u(t)=V_0 \cdot \sin(\omega t + \beta),$

De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna de valor:

$i(t)= {u(t) \over R} = I_0 \cdot \sin(\omega t + \beta),$

donde $I_0 = {V_0 \over R}$ . Se obtiene así, para la corriente, una función senoidal que está en fase con la tensión aplicada (figura 3).

Si se representa el valor eficaz de la corriente obtenida en forma polar:

$\vec{I} = I \ \underline{\mid \beta}$

Y operando matemáticamente:

$\vec{I} = {V \over R} \ \underline{\mid \beta} = {{V \ \underline{\mid \beta}} \over {R \ \underline{\mid 0^\circ}}}$

De donde se deduce que en los circuitos de CA la resistencia puede considerarse como una magnitud compleja con parte real y sin parte imaginaria o, lo que es lo mismo con argumento nulo, cuya representación binómica y polar serán:

$\vec{R} = R + 0j = R \ \underline{\mid 0^\circ}$

Asociación de resistencias

Resistencia equivalente

Cuando en un circuito hay varias resistencias conectadas, resulta útil para calcular las corrientes que pasan por el circuito y las caidas de tensión que se producen, encontrar una resistencia que pueda sustituir a otras, de forma que el comportamiento del resto del circuito sea el mísmo.

Esta resistencia equivalente, se sabe que existe, y para configuraciones en que las resistencias a sustituir están en paralelo o en serie, son fáciles de calcular como verás en las próximas secciones.

Asociación en serie

Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que ambas, figuras 4a) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial, U_AB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:

$U_{AB} = U_1 + U_2 +...+ U_n \,$

Aplicando la ley de Ohm:

$U_{AB} = IR_1 + IR_2 +...+ IR_n = I(R_1 + R_2 +...+ R_n) \,$

En la resistencia equivalente:

$U_{AB} = IR_{AB} \,$

Finalmente, igualando ambas ecuaciones se obtiene que:

$IR_{AB} = I(R_1 + R_2 +...+ R_n) \,$

Y eliminando la intensidad:

$R_{AB} = R_1 + R_2 +...+ R_n = \sum_{k=1}^n R_k$

Por lo tanto, la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la sumatoria de dichas resistencias.

Asociación en paralelo

Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, U_AB, todas las resistencias tienen la misma caída de tensión, U_AB.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo imaginaremos que ambas, figuras 4b) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, U_AB, lo que originará una misma demanda de corriente eléctrica, I. Esta corriente se repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff:

${I} = {I_1} + {I_2} + ... + {I_n} \,$

Aplicando la ley de Ohm:

${I} = {U_{AB} \over R_1} + {U_{AB} \over R_2} + ... + {U_{AB} \over R_n} = U_{AB}\left({1 \over R_1} + {1 \over R_2} + ... + {1 \over R_n}\right) \,$

En la resistencia equivalente se cumple:

$I=U_{AB}/R_{AB} \,$

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión U_AB:

${1 \over R_{AB}} = {1 \over R_1} + {1 \over R_2} + ... + {1 \over R_n}$

De donde:

$R_{AB} = {1 \over \sum_{k=1}^n {1 \over R_k} }$

Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de cada una de las resistencias.

Existen dos casos particulares que suelen darse en una asociación en paralelo:

1. Dos resistencias: en este caso se puede comprobar que la resistencia equivalente es igual al producto dividido por la suma de sus valores, esto es:

$R_{AB} = {R_1R_2 \over R_1 + R_2} \,$

2. k resistencias iguales: su equivalente resulta ser:

$R_{AB} = {R \over k} \,$

Asociación mixta

En una asociación mixta podemos encontrarnos conjuntos de resistencias en serie con conjuntos de resistencias en paralelo. En la figura 5 pueden observarse tres ejemplos de asociaciones mixtas con cuatro resistencias.

A veces una asociación mixta es necesaria ponerla en modo texto. Para ello se utilizan los símbolos "+" y "//" para designar las asociaciones serie y paralelo respectivamente. Así con (R1 + R2) se indica que R1 y R2 están en serie mientras que con (R1//R2) que están en paralelo. De acuerdo con ello, las asociaciones de la figura 5 se pondrían del siguiente modo:

a) (R1//R2)+(R3//R4)

b) (R1+R3)//(R2+R4)

c) ((R1+R2)//R3)+R4

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación mixta se van simplificando las resistencias que están en serie y las que están en paralelo de modo que el conjunto vaya resultando cada vez más sencillo, hasta terminar con un conjunto en serie o en paralelo. Como ejemplo se determinarán las resistencias equivalentes de cada una de las asociaciones de la figura 5:

R1//R2 = R_1//2

R3//R4 = R_3//4

R_AB = R_1//2 + R_3//4

R1+R3 = R₁₊₃

R2+R4 = R₂₊₄

R_AB = R₁₊₃//R₂₊₄

R1+R2 = R₁₊₂

R₁₊₂//R3 = R_1+2//3

R_AB = R_1+2//3 + R4

Desarrollando se obtiene:

$R_{AB}={R1 \cdot R2 \over R1+R2}+{R3 \cdot R4 \over R3+R4}$

$R_{AB}={(R1+R3) \cdot (R2+R4) \over (R1+R3)+(R2+R4)}$

$R_{AB}={(R1+R2) \cdot R3 \over (R1+R2)+R3} + R4$

Asociaciones estrella y triángulo

En la figura a) y b) pueden observarse respectivamente las asociaciones estrella y triángulo, también llamadas

T

π

o delta respectivamente. Este tipo de asociaciones son comunes en las cargas trifásicas. Las ecuaciones de equivalencia entre ambas asociaciones vienen dadas por el teorema de Kennelly:

Resistencias en estrella en función de las resistencias en triángulo (transformación de triángulo a estrella)

El valor de cada una de las resistencias en estrella es igual al cociente del producto de las dos resistencias en triángulo adyacentes al mismo terminal entre la suma de las tres resistencias en triángulo.

$RA = {R1 \cdot R3 \over {R1 + R2 + R3}} \,$

$RB = {R1 \cdot R2 \over {R1 + R2 + R3}} \,$

$RC = {R2 \cdot R3 \over {R1 + R2 + R3}} \,$

Resistencias en triángulo en función de las resistencias en estrella (transformación de estrella a triángulo)

El valor de cada una de las resistencias en triángulo es igual la suma de las dos resistencias en estrella adyacentes a los mismos terminales más el cociente del producto de esas dos resistencias entre la otra resistencia.

$R1 = {RA + RB + {RA \cdot RB \over {RC}}} \,$

$R2 = {RB + RC + {RB \cdot RC \over {RA}}} \,$

$R3 = {RA + RC + {RA \cdot RC \over {RB}}} \,$

Asociación puente

Si en una asociación paralelo de series como la mostrada en la figura 5b se conecta una resistencia que una las dos ramas en paralelo, se obtiene una asociación puente como la mostrada en la figura 7.

La determinación de la resistencia equivalente de este tipo de asociación tiene sólo interés pedagógico. Para ello se sustituye bien una de las configuraciones en triángulo de la asociación, la R1-R2-R5 o la R3-R4-R5 por su equivalente en estrella, bien una de las configuraciones en estrella, la R1-R3-R5 o la R2-R4-R5 por su equivalente en triángulo. En ambos casos se consigue transformar el conjunto en una asociación mixta de cálculo sencillo. Otro método consiste en aplicar una fem (E) a la asociación y obtener su resistencia equivalente como relación de dicha fem y la corriente total demandada (E/I).

El interés de este tipo de asociación está en el caso en el que por la resistencia central, R5, no circula corriente, pues permite calcular los valores de una de las resistencias, R1, R2, R3 o R4, en función de las otras tres. En ello se basan los puentes de Wheatstone y de hilo para la medida de resistencias con precisión.

Resistencia de un conductor

El conductor es el encargado de unir eléctricamente cada uno de los componentes de un circuito. Dado que tiene resistencia óhmica, puede ser considerado como otro componente más con características similares a las de la resistencia eléctrica.

De este modo, la resistencia de un conductor eléctrico es la medida de la oposición que presenta al movimiento de los electrones en su seno, o sea la oposición que presenta al paso de la corriente eléctrica. Generalmente su valor es muy pequeño y por ello se suele despreciar, esto es, se considera que su resistencia es nula (conductor ideal), pero habrá casos particulares en los que se deberá tener en cuenta su resistencia (conductor real).

La resistencia de un conductor depende de la longitud del mismo ( $l \;$ ) en m, de su sección ( $S \;$ ) en m², del tipo de material y de la temperatura. Si consideramos la temperatura constante (20 ºC), la resistencia viene dada por la siguiente expresión:

$R = \rho {l \over S} \;$

en la que $\rho \;$ es la resistividad (una característica propia de cada material).

Influencia de la temperatura

La variación de la temperatura produce una variación en la resistencia. En la mayoría de los metales aumenta su resistencia al aumentar la temperatura, por el contrario, en otros elementos, como el carbono o el germanio la resistencia disminuye.

Como ya se comentó, en algunos materiales la resistencia llega a desaparecer cuando la temperatura baja lo suficiente. En este caso se habla desuperconductores.

Experimentalmente se comprueba que para temperaturas no muy elevadas, la resistencia a un determinado valor de t ( $R_t \;$ ), viene dada por la expresión:

$R_t = R_o\cdot(1+\alpha \cdot \Delta T)$

donde

$R_o \;$ = Resistencia de referencia a 20 °C.
$\quad \alpha$ = Coeficiente Olveriano de temperatura.
$\quad \Delta T$ = Diferencia de temperatura respecto a los 20 °C (t-20).

Potencia que disipa una resistencia

Una resistencia disipa en calor una cantidad de potencia cuadráticamente proporcional a la intensidad que la atraviesa y a la caída de tensión que aparece en sus bornes.

Comúnmente, la potencia disipada por una resistencia, así como la potencia disipada por cualquier otro dispositivo resistivo, se puede hallar mediante:

$P = V \cdot I \,\!$

A veces es más cómodo usar la ley de Joule para el cálculo de la potencia disipada, que es:

$P = R \cdot I^2 \,\!$ o también $P = {V^2 \over R} \,\!$

Observando las dimensiones del cuerpo de la resistencia, las características de conductividad de calor del material que la forma y que la recubre, y el ambiente en el cual está pensado que opere, el fabricante calcula la potencia que es capaz de disipar cada resistencia como componente discreto, sin que el aumento de temperatura provoque su destrucción. Esta temperatura de fallo puede ser muy distinta según los materiales que se estén usando. Esto es, una resistencia de 2 W formada por un material que no soporte mucha temperatura, estará casi fría (y será grande); pero formada por un material metálico, con recubrimiento cerámico, podría alcanzar altas temperaturas (y podrá ser mucho más pequeña).

El fabricante dará como dato el valor en vatios que puede disipar cada resistencia en cuestión. Este valor puede estar escrito en el cuerpo del componente o se tiene que deducir de comparar su tamaño con los tamaños estándar y su respectivas potencias. El tamaño de las resistencias comunes, cuerpo cilíndrico con 2 terminales, que aparecen en los aparatos eléctricos domésticos suelen ser de 1/4 W, existiendo otros valores de potencias de comerciales de ½ W, 1 W, 2 W, etc.

Antes de empezar a resolver un circuito por el método de mallas se debe intentar, siempre que sea posible, sustituir los generadores de corriente existentes en la red por generadores de tensión equivalentes (eq. de Thévenin). En el caso de que los generadores de corriente sean ideales (y no puedan ser transformados de forma simple) habrá que tenerlos en cuenta de forma explícita. Igualmente, se estudiará por separado el caso en que se disponga de generadores dependientes.

Sin Generadores de Corriente

El número de mallas sabemos que es m = r - n + 1 , siendo r el número de ramas y n el de nudos.
El procedimiento sistemático consiste en suponer que circula una corriente de malla ("ficticia") por cada malla (es conveniente asignar a todas ellas el mismo sentido: horario o antihorario) y aplicar el 2º lema de Kirchhoff a cada malla, sabiendo que las intensidades de rama (reales) son:

Si son ramas externas, que pertenecen a una sola malla, la intensidad de rama será igual a ±intensidad de malla a que pertenece. Se tomará el signo + si coinciden las referencias de polaridad de las mismas.
Toda rama interna pertenecerá a dos mallas, de tal forma que si todas las corrientes de la malla tienen el mismo sentido, la intensidad de esa rama será la diferencia entre las corrientes de dichas mallas; el resultado vendrá afectado por un signo + si su referencia de polaridad coincide con la de la rama.

Ejemplo 1.: Plantear las ecuaciones de malla para el circuito de la Fig. 1.
En dicho circuito se han indicado las corrientes de malla (i1 e i2) y los sentidos que se han tomado para cada una (ambas en sentido horario).

Figura 1 (Click para ampliar)

El planteamiento de la 2ª ley de Kirchhoff para ambas mallas da como resultado el indicado a continuación.

Ecuacion 1

De donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ecuacion 2

Con Generadores de Corriente (Ideales y "No Reducidos")

En este caso, una cosa que puede hacerse es asignar a cada generador de corriente presente en la red una tensión generadora desconocida (que vendrá determinada por el resto del circuito) y añadir las ecuaciones adicionales para las ramas con generador ideal de corriente.

Ejemplo 2: Encontrar las intensidades de malla del siguiente circuito.

Figura 2 (Click para ampliar)

Como se ha indicado, consideraremos las tensiones en bornes de los generadores de corriente como si de un generador de tensión se tratase. Con ello, aplicando el segundo lema para las tres mallas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Ecuacion 3

Reordenando nos queda:

Ecuacion 4

Tenemos tres ecuaciones con cinco incógnitas: nos faltan dos ecuaciones más, que son:

También puede resolverse este sistema con las últimas ecuaciones y plantear la ecuación de la malla ACEFG (que no incluye ningún generador de corriente. Esa ecuación es, en realidad, la suma de las ecuaciones de las mallas 1 y 2):

Ecuacion 5

La solución de dicho sistema es: